重新理解張益唐博士的論文－任意相鄰兩個質數的上界

　　美國籍華裔數學家張益唐博士在2013年4月17日《數學年刊》（Annals of Mathematics）發
表了一篇數學論文《Bounded gaps between primes》，撼動的數學界。定理結果用一個很漂亮的數學式子就能表達出來，定理敘述如下：

Theorem 1:
It is proved that

,

where pn is the n-th prime. 

　　而台灣的新聞報導卻將這結果解釋成「任意相鄰質數必定不超過7000萬」(其中一篇新聞可以參考自由時報-張益唐的髮絲步 撞破數學質數牆)，其實這是嚴重誤導。事實上，相鄰質數的相差要有多大，就有多大，其證明可以參考這篇文章-最近很紅的孿生質數猜想-中的「相鄰質數的距離可以多大？」段落。

　　這篇文章只是想重新理解這個定理結果的真正意義，也就是「存在無限多組相鄰質數，其相差小於7000萬」。此外還能復習一下大學所學的mathematical analysis的邏輯推理。先來複習一下lim inf的定義。



Definition 2:
  Let  be a sequence. .

　　接著我們就可以開始證明「存在無限多組相鄰質數，其相差小於7000萬」。說是證明，其實也只是賣弄一下定義而已。

Corollary 3:
  Let  be a sequence of all primes such that . There are infinitely many  such that .

Proof:
　　由Definition 2，

。

　　令。由Theorem 1，是所有的一個上界，

---(1)。

其次，給定正整數k，皆滿足

---(2)。

接下來來證明有無限多個。

　　考慮k=1，由(1)跟(2)，因為是的最大下界，不會是的下界。所以存在滿足。

　　接著，考慮，由(1)跟(2)且同上，存在滿足且。

　　接著，考慮，同前一個，以此類推下去。

　　最後，我們可以找到一個數列皆滿足。換句話說就是有無窮多個相鄰質數相差皆小於7000萬。

□

llary
n→∞